题目内容
如图,已知双曲线C:


(1)求双曲线C的方程;
(2)直线l交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2,交双曲线于P、Q,且



【答案】分析:(1)设出焦点坐标,利用
=-1,结合离心率,求出a,c,b,即可求双曲线C的方程;
(2)设出直线l的方程,求出直线交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2,结合
,通过P在双曲线上,通过弦长公式求|
|的最小值.
解答:解:(1)设F1(0,c),F2(0,c)则M(
),由
=-1,
得
=a2-c2=-1;
∵
,
∴
,
所以双曲线C的方程为:y2-x2=1.…(6分)
(2)设直线l的方程为y=kx+b,交双曲线C的渐近线l1、l2于P1(
),P2(
);
由
可得P
因为P在双曲线上,所以
,
所以8b2=9(1-k2),
联立得
即(k2-1)x2+2kbx+b2-1=0…(10分)
∴
=
=
≥
.
当且仅当k=0时取等号.
点评:此题是难题.考查双曲线的定义和简单的几何性质,以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题,综合性强,特别是问题(2)的设问形式,增加了题目的难度,注意直线与圆锥曲线相交弦长的求法.体现了数形结合和转化的思想方法.

(2)设出直线l的方程,求出直线交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2,结合


解答:解:(1)设F1(0,c),F2(0,c)则M(


得

∵

∴

所以双曲线C的方程为:y2-x2=1.…(6分)
(2)设直线l的方程为y=kx+b,交双曲线C的渐近线l1、l2于P1(


由


因为P在双曲线上,所以

所以8b2=9(1-k2),
联立得

∴




当且仅当k=0时取等号.
点评:此题是难题.考查双曲线的定义和简单的几何性质,以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题,综合性强,特别是问题(2)的设问形式,增加了题目的难度,注意直线与圆锥曲线相交弦长的求法.体现了数形结合和转化的思想方法.

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