题目内容

如图,已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率e=,F1、F2分别为双曲线C的上、下焦点,M为上准线与渐近线在第一象限的交点,且=-1.
(1)求双曲线C的方程;
(2)直线l交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2,交双曲线于P、Q,且,求||的最小值.

【答案】分析:(1)设出焦点坐标,利用=-1,结合离心率,求出a,c,b,即可求双曲线C的方程;
(2)设出直线l的方程,求出直线交双曲线C的渐近线l1、l2于P1、P2,结合,通过P在双曲线上,通过弦长公式求||的最小值.
解答:解:(1)设F1(0,c),F2(0,c)则M(),由=-1,
=a2-c2=-1;


所以双曲线C的方程为:y2-x2=1.…(6分)
(2)设直线l的方程为y=kx+b,交双曲线C的渐近线l1、l2于P1),P2);
可得P
因为P在双曲线上,所以
所以8b2=9(1-k2),
联立得即(k2-1)x2+2kbx+b2-1=0…(10分)
==
当且仅当k=0时取等号.
点评:此题是难题.考查双曲线的定义和简单的几何性质,以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题,综合性强,特别是问题(2)的设问形式,增加了题目的难度,注意直线与圆锥曲线相交弦长的求法.体现了数形结合和转化的思想方法.
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