Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：；

（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）和.

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）.

【解析】

(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；

(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；

(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.

（Ⅰ），令得或者.

当时，，此时切线方程为，即；

当时，，此时切线方程为，即；

综上可得所求切线方程为和.

（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；

而，所以，即；

同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

所以是中的较大者，

若，即时，；

若，即时，；

所以当最小时，，此时.