题目内容

（提示：1、12、13、14班同学请完成试题（B），其他班级同学任选试题（A）或（B）作答）
（A）已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10）及 $数学公式$ ，试问：
（1）t为何值时，P在第三象限？
（2）是否存在D点使得四边形ABCD为平行四边形，若存在，求出D点坐标．
（B）已知平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点E， $数学公式$ ，连接BN交AC于M，
（1）若 $数学公式$ ，求实数λ．
（2）若B（0，0），C（1，0），D（2，1），求M的坐标．

解：（A）（1）∵A（2，3），B（5，4），C（7，10）及 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（3，1）+t（5，7）=（3+5t，1+7t）
∴P（5+5t，4+7t）
又P在第三象限，故有 $\text{[math]}$ 解得t＜-1
（2）存在D（x，y）使得四边形ABCD为平行四边形，因为
∵四边形ABCD为平行四边形，令AC，与BD的交点为E，则E是对角线的中点，可求得E（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ 故D（4，9）
（B）（1）

如图，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为基向量，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） ①
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +α $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +α（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ +α（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=α $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1-α） $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ =β $\text{[math]}$ =β（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
故有 $\text{[math]}$ 解得α=β= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ） ②
由①②知，M是A，E的中点故λ= $\text{[math]}$ ，
（2）∵B（0，0），C（1，0），D（2，1），
∴ $\text{[math]}$ =（-1，0）， $\text{[math]}$ =（1，1）
∴ $\text{[math]}$ =（0，1），
由上， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即， $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ ）
分析：（A）（1）解出P的坐标，令其横纵坐标小于0，即可解出参数t的取值范围．
（2）设出D的坐标，利用向量的相等建立方程求出其坐标，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．
（B）（1）选定基向量，利用三角形法则将两个向量用基向量表示出来即可得出参数的值；
（2）由向量的坐标运算规则直接求出M的坐标．
点评：本题考查向量的坐标运算，求解本题的关键是掌握住向量的加减法则，本题是一个向量综合题，综合考查了向量的三角形法则，向量的坐标运算，运算量较大，易因马虎导致出错，做题时要严谨．