题目内容
(12分)如图,在正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中,AA1=AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过点A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
(Ⅰ)求证:EM∥平面A1B1C1D1;
(Ⅱ)求二面角B―A1N―B1的正切值.
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解析:(Ⅰ)证明:取A1B1的中点F,连EF,C1F ∵E为A1B中点 ∴EF∥ BB1
又∵M为CC1中点 ∴EF∥ C1M∴四边形EFC1M为平行四边形 ∴EM∥FC1
而EM 平面A1B1C1D1 . FC1
平面A1B1C1D1 .
∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分
(Ⅱ)由⑴EM∥平面A1B1C1D1
EM平面A1BMN
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N
∴A1N// EM// FC1 ∴N为C1D1 中点
过B1作B1H⊥A1N于H,连BH,
根据三垂线定理 BH⊥A1N
∠BHB1即为二面角B―A1N―B1的平面角……8分
设AA1=a, 则AB=2a, ∵A1B1C1D1为正方形
∴A1H= 又∵△A1B1H∽△NA1D1
∴B1H=,在Rt△BB1H中,tan∠BHB1=
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