题目内容

(12分)如图,在正四棱柱ABCD―A1B1C1D1中,AA1=AB,点E、M分别为A1B、C1C的中点,过点A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.

(Ⅰ)求证:EM∥平面A1B1C1D1

(Ⅱ)求二面角B―A1N―B1的正切值.

解析:(Ⅰ)证明:取A1B1的中点F,连EF,C1F   ∵E为A1B中点   ∴EF BB1

又∵M为CC1中点 ∴EF C1M∴四边形EFC1M为平行四边形  ∴EM∥FC1 

而EM 平面A1B1C1D1 . FC1平面A1B1C1D1 .

∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ⅱ)由⑴EM∥平面A1B1C1D1 

EM平面A1BMN

平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N  

∴A1N// EM// FC1   ∴N为C1D1 中点

过B1作B1H⊥A1N于H,连BH,

根据三垂线定理  BH⊥A1N

∠BHB1即为二面角B―A1N―B1的平面角……8分

设AA1=a, 则AB=2a,  ∵A1B1C1D1为正方形

∴A1H=    又∵△A1B1H∽△NA1D1

∴B1H=,在Rt△BB1H中,tan∠BHB1=

即二面角B―A1N―B1的正切值为……12分  (空间向量按步骤给分)
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