Question

如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m²）．
（1）用x的代数式表示AM；
（2）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（3）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

Answer 1

分析：（1）在△AMN中利用比例关系即可表示AM；
（2）由（1），根据勾股定理用x表示MN，再由MN：NE=16：9，可以用x表示NE，即能表示面积S，结合x为边长求定义域即可；
（3）根据（2），求出函数的导函数，利用函数的导数求函数在给定区间上的最小值即可．

解答：解：（1）依题意，AM=

3x

x-9

（10≤x≤30）；（2分）
（2）MN2=AN2+AM2=x2+

9x2

(x-9)2

．（4分）
∵MN：NE=16：9，∴NE=

9

16

MN．
∴S=MN•NE=

9

16

MN2=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]．（6分）
定义域为[10，30]．（8分）
（3）S′=

9

16

[2x+

18x(x-9)2-9x2(2x-18)

(x-9)4

]=

9

8

×

x[(x-9)3-81]

(x-9)3

，（11分）
令S′=0，得x=0（舍），x=9+3

3	3

．（13分）
当10≤x＜9+3

3	3

时，S′＜0，S关于x为减函数；
当9+3

3	3

＜x≤30时，S′＞0，S关于x为增函数；
∴当x=9+3

3	3

时，S取得最小值．（15分）
答：当AN长为9+3

3	3

m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小．（16分）

点评：本题考查用数学知识解决实际应用题的能力，主要考查构建函数模型，函数的定义域，以及用函数的导数研究函数最值，是中档题．