题目内容

【题目】已知椭圆的左顶点为,上顶点为,右焦点为,离心率为的面积为

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若轴上的两个动点,且,直线分别与椭圆交于两点.

(ⅰ)求的面积最小值;

(ⅱ)证明:三点共线.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)(ⅰ)2;

(ⅱ)证明过程见解析.

【解析】

(Ⅰ)根据离心率可以得到等式,由的面积为,又得到一个等式,结合,可以求出的值,这样就求出椭圆方程;

(Ⅱ)(ⅰ)设出两点坐标,根据,可以得到两点坐标之间的关系,求出的面积的表达式,利用基本不等式求出的面积最小值;

(ⅱ)直线的方程与椭圆方程联立,求出点坐标,同理求出的坐标,求出直线的斜率,根据两点坐标之间的关系,可以证明出直线的斜率相等,又过同一点,这样就可以证明三点共线.

(Ⅰ)由题意可知:,离心率为

因为的面积为,所以

所以,因此,椭圆的方程为

(Ⅱ)设

,所以.

(ⅰ)设的面积为

,当且仅当时,取等号,所以的面积最小值为2;

(ⅱ),直线的方程为:与椭圆的方程联立得

所以有

,同理求出,所以

所以,直线过同一点,斜率相等,所以三点共线.

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