题目内容
【题目】已知椭圆的左顶点为,上顶点为,右焦点为,离心率为,的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若为轴上的两个动点,且,直线和分别与椭圆交于两点.
(ⅰ)求的面积最小值;
(ⅱ)证明:三点共线.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)(ⅰ)2;
(ⅱ)证明过程见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据离心率可以得到等式,由的面积为,又得到一个等式,结合,可以求出的值,这样就求出椭圆方程;
(Ⅱ)(ⅰ)设出两点坐标,根据,可以得到两点坐标之间的关系,求出的面积的表达式,利用基本不等式求出的面积最小值;
(ⅱ)直线的方程与椭圆方程联立,求出点坐标,同理求出的坐标,求出直线的斜率,根据两点坐标之间的关系,可以证明出直线的斜率相等,又过同一点,这样就可以证明三点共线.
(Ⅰ)由题意可知:,离心率为 ,
因为的面积为,所以而,
所以,因此,椭圆的方程为;
(Ⅱ)设,
,所以.
(ⅰ)设的面积为,,
,当且仅当时,取等号,所以的面积最小值为2;
(ⅱ),直线的方程为:与椭圆的方程联立得
,
设所以有,,
设,同理求出,所以,
,所以,直线过同一点,斜率相等,所以三点共线.