Question

17．如图，已知A是椭圆M：x²+5y²=5与y轴正半轴的交点，F是椭圆M的右焦点，过点F的直线l与椭圆M交于B，C两点．
（Ⅰ）若OB=OC，求B，C两点的坐标；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得AB=AC？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）由x²+5y²=5可得$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$，A（0，1），F（2，0），由椭圆的对称性可知：满足|OB|=|OC|的直线l有两种情况：（i）当l⊥x轴时，把x=2代入椭圆方程可得B，C的坐标．（ii）当直线l与x轴重合时，直接得出B，C两点的坐标．
（II）（i）当直线l与x轴重合时，B，C两点的坐标为顶点．满足|AB|=|AC|；（ii）当l⊥x轴时，不符合条件；（iii）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x-2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），线段BC的中点M（x₀，y₀）．与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式、斜率计算公式，利用k_AM•k=-1解出即可．

解答 解：（I）由x²+5y²=5可得$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$，
∴a²=5，b=1，c=2．
∴A（0，1），F（2，0），
由椭圆的对称性可知：满足|OB|=|OC|的直线l有两种情况：
（i）当l⊥x轴时，把x=2代入椭圆方程可得$\frac{4}{5}+{y}^{2}=1$，解得y=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$B（2，\frac{\sqrt{5}}{5}）$，C$（2，-\frac{\sqrt{5}}{5}）$．
（ii）当直线l与x轴重合时，B，C两点的坐标为$（\sqrt{5}，0）$，$（-\sqrt{5}，0）$．
（II）（i）当直线l与x轴重合时，B，C两点的坐标为$（\sqrt{5}，0）$，$（-\sqrt{5}，0）$．满足|AB|=|AC|；
（ii）当l⊥x轴时，不符合条件；
（iii）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x-2），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），线段BC的中点M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{x}^{2}+5{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，
化为（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，
∴x₁+x₂=$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₀=$\frac{10{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，y₀=$\frac{-2k}{1+5{k}^{2}}$，
k_AM=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-$\frac{5{k}^{2}+2k+1}{10{k}^{2}}$．
要使|AB|=|AC|，则AM⊥l，
∴k_AM•k=-1，
∴-$\frac{5{k}^{2}+2k+1}{10{k}^{2}}$•k=-1．
化为5k²-8k+1=0，解得k=$\frac{4±\sqrt{11}}{5}$．
∴直线l的方程为：y=$\frac{4±\sqrt{11}}{5}$（x-2）．
综上可得：满足条件的直线l的方程为y=0，y=$\frac{4±\sqrt{11}}{5}$（x-2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．