Question

实数集A满足条件：若a∈A，则

1

1-a

∈A（a≠1）．
求证：①若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
②集合A不可能是单元素集．

Answer 1

分析：①根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；
②可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；

解答：证明：①若a∈A，则

1

1-a

∈A．
又∵2∈A，
∴

1

1-2

=-1∈A
∵-1∈A，∴

1

1-(-1)

=

1

2

∈A．
∵

1

2

∈A，∴

1

1- 1 2

=2∈A．
∴A中另外两个元素为-1，

1

2

②若A为单元素集，则a=

1

1-a

，即a²-a+1=0，方程无解．
∴a≠

1

1-a

，
∴A不可能为单元素集．

点评：此题主要考查集合与元素之间的关系，注意集合内元素的互异性，是一道基础题．