Question

如图，由y=0，x=8，y=x²围成了曲边三角形OAB，M为曲线弧OB上一点，
设M点的横坐标为x₀，过M作y=x²的切线PQ
（1）求PQ所在直线的方程（用x₀表示）；
（2）当PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大时，求x₀．

Answer 1

分析：（1）求出函数y=x²在M处的导数值，即切线PQ的斜率，利用点斜式写出直线PQ的方程．
（2）对于直线PQ的方程分别令y=0，x=8得到直线PQ与x轴的交点坐标及与直线x=8的交点坐标，利用两点距离公式求出三角形的两条直角边，利用三角形的面积表示出面积，对面积函数求导数，令导数等于0，判断出根左右两边的导函数符号，求出最大值．

解答：解：（1）f′（x₀）=2x₀    M（x₀，x₀²）
∴PQ的方程2x₀x-y-x₀²=0
（2）PQ的方程中，令y=0，x=

x0

2

∴P(

x0

2

，0)
∴|AP|=8-

x0

2

PQ的方程中，令x=8，则y=16x₀-x₀²
∴|AQ|=16x₀-x₀²
．令S_△PQA=u
∴u′=

3

4

x02-16x0+64
∴x0=

16

3

，x0=16(舍)
∵(0，

16

3

)是函数的增区(

16

3

，8)是函数的减区
∴x0=

16

3

时面积最大

点评：解决曲线的切线斜率问题，一般利用函数在切点处的导数值为切线的斜率；解决实际问题中的函数的最值问题，一般利用导数求出函数的极值即函数的最值．