题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$
（1）分别就 $数学公式$ 判断m与n的大小关系，并由此猜想对于任意的a，b∈R₊，m与n的大小关系及取得等号的条件；
（2）类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的a，b，c∈R₊相应的猜想，并证明这个猜想．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时，m=n=1，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，…（2分）
故由此可以猜想：
任意的a，b∈R₊，有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，当且仅当a=b时取得等号；…（4分）
（2）类比第（1）小题，对于任意的a，b，c∈R₊，
猜想： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，当且仅当a=b=c时取得等号．…（5分）
证明如下：
对于a，b，c∈R₊，要证 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 成立，
只需证： $\text{[math]}$ …（7分）
即证： $\text{[math]}$
即证： $\text{[math]}$ （*） …（9分）
∵对于a，b，c∈R₊，有 $\text{[math]}$
同理： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ …（11分）
∴不等式（*）成立．
要使（*）的等号成立，必须 $\text{[math]}$ ，
故当a=b=c时等号成立．　…（12分）
说明：采用其它方法作答的，只是逻辑严密，言之有理，可以根据作答情况酌情给分．
分析：（1）当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，分别代入计算，从而可以猜想：任意的a，b∈R₊，有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，当且仅当a=b时取得等号；
（2）类比第（1）小题，对于任意的a，b，c∈R₊，猜想： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，当且仅当a=b=c时取得等号利用分析法可以进行证明．
点评：本题以大小比较为载体，考查基本不等式的运用，考查类比思想，解题的关键是正确运用基本不等式证明不等式．