题目内容
已知m=
，n=
（1）分别就
和
判断m与n的大小关系，并由此猜想对于任意的a，b∈R+，m与n的大小关系及取得等号的条件；
（2）类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的a，b，c∈R+相应的猜想，并证明这个猜想．
| 2 | ||||
|
| a+b |
| 2 |
（1）分别就
|
|
（2）类比第（1）小题的猜想，得出关于任意的a，b，c∈R+相应的猜想，并证明这个猜想．
分析：（1）当
，
时，分别代入计算，从而可以猜想：任意的a，b∈R+，有m=
≤n=
，当且仅当a=b时取得等号；
（2）类比第（1）小题，对于任意的a，b，c∈R+，猜想：m=
≤n=
，当且仅当a=b=c时取得等号利用分析法可以进行证明．
|
|
| 2 | ||||
|
| a+b |
| 2 |
（2）类比第（1）小题，对于任意的a，b，c∈R+，猜想：m=
| 3 | ||||||
|
| a+b+c |
| 3 |
解答：解：（1）当
时，m=n=1，当
时，m=
＜n=
，…（2分）
故由此可以猜想：
任意的a，b∈R+，有m=
≤n=
，当且仅当a=b时取得等号；…（4分）
（2）类比第（1）小题，对于任意的a，b，c∈R+，
猜想：m=
≤n=
，当且仅当a=b=c时取得等号．…（5分）
证明如下：
对于a，b，c∈R+，要证
≤
成立，
只需证：9≤(a+b+c)(
+
+
)…（7分）
即证：9≤3+
+
+
+
+
+
即证：6≤(
+
)+(
+
)+(
+
)（*） …（9分）
∵对于a，b，c∈R+，有
+
≥2
=2
同理：
+
≥2，
+
≥2…（11分）
∴不等式（*）成立．
要使（*）的等号成立，必须
=
且
=
且
=
，
故当a=b=c时等号成立． …（12分）
说明：采用其它方法作答的，只是逻辑严密，言之有理，可以根据作答情况酌情给分．
|
|
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
故由此可以猜想：
任意的a，b∈R+，有m=
| 2 | ||||
|
| a+b |
| 2 |
（2）类比第（1）小题，对于任意的a，b，c∈R+，
猜想：m=
| 3 | ||||||
|
| a+b+c |
| 3 |
证明如下：
对于a，b，c∈R+，要证
| 3 | ||||||
|
| a+b+c |
| 3 |
只需证：9≤(a+b+c)(
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
即证：9≤3+
| a |
| b |
| a |
| c |
| b |
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| b |
即证：6≤(
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| c |
| c |
| a |
| b |
| c |
| c |
| b |
∵对于a，b，c∈R+，有
| a |
| b |
| b |
| a |
|
同理：
| a |
| c |
| c |
| a |
| b |
| c |
| c |
| b |
∴不等式（*）成立．
要使（*）的等号成立，必须
| b |
| a |
| a |
| b |
| c |
| a |
| a |
| c |
| b |
| c |
| c |
| b |
故当a=b=c时等号成立． …（12分）
说明：采用其它方法作答的，只是逻辑严密，言之有理，可以根据作答情况酌情给分．
点评：本题以大小比较为载体，考查基本不等式的运用，考查类比思想，解题的关键是正确运用基本不等式证明不等式．
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