题目内容

已知函数f(x)=log2
x1-x
．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．
分析：（Ⅰ）由 
x
1-x
＞0得 x（1-x）＞0，由此解得x的范围，即为函数的定义域．
（Ⅱ）证明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，化简f（x1）-f（x2）=log2(
x1
x2
•
1-x2
1-x1
)＜0，从而可得f（x1）＜f（x2），从而得到函数f（x）是增函数．
解答：（Ⅰ）解：由 
x
1-x
＞0得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函数的定义域为 （0，1）．
（Ⅱ）证明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=log2
x1
1-x1
-log2
x2
1-x2

=log2(
x1
1-x1
•
1-x2
x2
)=log2(
x1
x2
•
1-x2
1-x1
)．
∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜1，∴0＜
x1
x2
＜1且  0＜
1-x2
1-x1
＜1，
即  0＜
x1
x2
•
1-x2
1-x1
＜1，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）是增函数．
点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，函数的单调性的定义和证明，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
（2）当a＜3时，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．
已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
（1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
（2）当x∈[
1
e
，e]时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线l的方程及a的值；
（2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x2）-g（x）=k的解的个数．
已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．
已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b为实数，x∈R，a∈R．
（1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网