Question

已知函数f(x)=2sin(2x-

π

3

)+1，
（1）求函数y=f（x）的最大、最小值以及相应的x值；
（2）若x∈[0，2π]，求函数y=f（x）的单调增区间；
（3）若y＞2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接利用正弦函数的最值，求函数y=f（x）的最大、最小值以及相应的x值；
（2）利用正弦函数的单调增区间，求出函数的函数y=f（x）的单调增区间，然后求出在x∈[0，2π]的范围即可．
（3）利用y＞2，推出函数的表达式，通过解方程直接求x的取值范围．

解答：解：（1）当2x-

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

5π

12

，k∈Z时，函数y=f（x）取得最大值为3，
当2x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

π

12

，k∈Z时，函数y=f（x）取得最小值为-1；
（2）令T=2x-

π

3

，则当2kπ-

π

2

≤T≤2kπ+

π

2

，即2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
也即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

（k∈Z）时，函数y=2sinT+1单调递增．又x∈[0，2π]，
∴函数y=f（x）的单调增区间[0，

5π

12

]，[

11π

12

，

17π

12

]，[

23π

12

，2π]；
（3）若y＞2，∴sin(2x-

π

3

)＞

1

2

，从而2kπ+

π

6

＜2x-

π

3

＜2kπ+

5π

6

，k∈Z．
解得：kπ+

π

4

＜x＜kπ+

7π

12

，k∈Z．

点评：本题是中档题，考查三角函数的基本性质的应用，能够通过基本函数的基本性质，灵活解答是解题的关键．