题目内容

(2006•黄浦区二模)设a为正数,直角坐标平面内的点集A={(x,y)|x,y,a-x-y是三角形的三边长}.
(1)画出A所表示的平面区域;
(2)在平面直角坐标系中,规定a∈Z,且y∈Z时,(x,y)称为格点,当a=8时,A内有几个格点(本小题只要直接写出结果即可);
(3)点集A连同它的边界构成的区域记为
.
A
,若圆{(x,y)|(x-p)2+(x-q)2=r2}⊆
.
A
(r>0)
,求r的最大值.
分析:(1)根据三角形的三边满足的条件2x+2y>a; a>2y;a>2x,画出A所表示的平面区域;
(2)当a=8时,结合图形列出A内的格点,得到格点个数,
(3)结合图象,当圆与三角形相切时半径最大,根据等面积法求出r的最大值.
解答:解:(1)集合A表示一个点集(平面上一组点),这些点的横纵坐标满足:2x+2y>a; a>2y;a>2x
其中a是正数.
表示一个由直线2x+2y=a 和x=
a
2
和y=
a
2
围成的三角形区域.

(2)当a=8时,A内的格点有(2,3),(3,2),(3,3)共3个格点.
(3)结合图象,当圆与三角形相切时半径最大,根据等面积法得到
a
2
r+
a
2
r+
2
2
ar=
a
2
×
a
2

解得r=
2-
2
4
a
点评:本题考查画不等式组表示的平面区域是解决线性规划问题的关键,当圆与三角形相切时三角形内的圆半径最大,属于中档题.
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