Question

如图P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P₃，P₄，…，Pn，…，记纸板Pn的面积为Sn，则Sn=

π

2

[1-

1-( 1 4 )n-1

3

]

．

Answer 1

分析：由已知每次剪掉的半圆形面积构成一个等比数列，根据已知不难求出该数列的首项和公比，代入等比数列前n项和公式，易得剪去的所有半圆的面积和，从而得到最后纸板P_n的面积．

解答：解：每次剪掉的半圆形面积构成一个以

π

8

为首项，以

1

4

为公比的等比数列，
∴纸板P_n的面积为S_n=

π

2

-

π 8 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

π

2

[1-

1-( 1 4 )n-1

3

]．
故答案为：

π

2

[1-

1-( 1 4 )n-1

3

]．

点评：本题考查等比数列在生产实际中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．