Question

已知函数f（x）是R上的偶函数．
（1）证明：f（x）=f（|x|）
（2）若当x≥0时，f（x）是单调函数，求满足f(x)=f(

x+3

x+4

)的所有x之和．

Answer 1

分析：（1）去绝对值，分x≥0和x＜0，两种情况讨论．
（2）利用（1）的结论，将f(x)=f(

x+3

x+4

)转化为f(|x|)=f(|

x+3

x+4

|)．再利用x≥0时，f（x）是单调函数，可得到|x|=|

x+3

x+4

|求解．

解答：（1）证明：①若x≥0，则有|x|=x，既有f（|x|）=f（x）．
②若x＜0，则有|x|=-x，既有f（|x|）=f（-x）．
因为f（x）是R上的偶函数，所以f（-x）=f（x）．因此f（|x|）=f（-x）=f（x）．
综上所述，f（x）=f（|x|）
（2）解：因为f(x)=f(

x+3

x+4

)，
由（1）可得f(|x|)=f(|

x+3

x+4

|)．
又因为当x≥0时，f（x）是单调函数，所以有|x|=|

x+3

x+4

|．
当x=-

x+3

x+4

时，整理得x²+5x+3=03，可得x₁+x₂=-54．
当x=

x+3

x+4

时，整理得x²+3x-3=07，可得x₁+x₂=-38．
综上可得所有的x之和为-8．

点评：本题主要考查函数的奇偶性及其重要模型，还考查了函数的单调性定义，将函数关系转化为自变量关系来解方程．这类问题较为常规，要熟练掌握．