Question

正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝2，E、F分别是D₁B、AD的中点，．

(1)建立适当的坐标系，求点E的坐标；

(2)证明：EF⊥面D₁BC；

(3)求二面角D₁－BF－C的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图建立空间直角坐标系，设DD1=a，则D(0，0，0)，D1(0，0，a)，C(0，2，0)，B(2，2，0) 　　，则，，由得，解得a=2，故点E的坐标为(1，1，1)(4分); 　　(2)由(1)知:，， 　　又=2－2=0，=0 　　， 　　又D1BBC=B，EF面D1BC(8分); 　　(3)由D向BF的延长线作垂线，垂足为M，连结D1M，则D1MBF 　　则为二面角D1－FB－C的平面角 　　在中，BF=，又　，所以 　　，在中，tan= 　　cos=，故二面角D1－FB－C的平面角的余弦值为(12分)