Question

设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值是

8

．

Answer 1

分析：根据题意，以AB、AC、AD为长、宽、高作长方体，可得长方体与三棱锥D-ABC有相同的外接球．从而算出长方体的对角线长为4，得AB²+AC²+AD²=16．再利用基本不等式求最值即可算出S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值．

解答：解：∵AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，
∴以AB、AC、AD为长、宽、高，作长方体如图所示
可得长方体的外接球就是三棱锥D-ABC的外接球
∵球的半径为2，可得直径为4
∴长方体的对角线长为4，得AB²+AC²+AD²=16
∵S_△ABC=

1

2

AB•AC，S_△ABD=

1

2

AB•AD，S_△ACD=

1

2

AC•AD
∴S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD=

1

2

（AB•AC+AB•AD+AC•AD）
∵AB•AC+AB•AD+AC•AD≤AB²+AC²+AD²=16
当且仅当AB=AC=AD时，等号成立
∴当且仅当AB=AC=AD时，S_△ABC+S_△ABD+S_△ACD的最大值为8
故答案为：8

点评：本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值，着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．