题目内容

给出下列命题:
①存在实数α使sinα•cosα=1成立;
②存在实数α使sinα+cosα=
3
2
成立;
③函数y=sin(
2
-2x)
是偶函数;
x=
π
8
是函数y=sin(2x+
4
)
的图象的一条对称轴的方程;
⑤在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB.
其中正确命题的序号是
 
(注:把你认为正确的命题的序号都填上).
分析:根据二倍角公式得到sinαcosα=
1
2
sin2α,结合正弦函数的值域可判断①正误;
根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα=
2
sin(α+
π
4
)结合正弦函数的可判断②正误;
根据诱导公式得到 y=sin(
2
-2x)
=sin(
π
2
-2x
)=cos2x,再由余弦函数的奇偶性可判断③正误;
将x=
π
8
代入到y=sin(2x+
4
)得到sin(2×
π
8
+
4
)=sin
2
=-1,根据正弦函数的对称性可判断④正误.
根据正弦定理和大边对大角,可以判断⑤的正误.
解答:解:对于①,由sinα•cosα=1,得sin2α=2,矛盾;
对于②,由sinα+cosα=
3
2
,得
2
sin(α+
π
4
)=
3
2
,矛盾;
对于③,y=sin(
2
-2x)=sin(
π
2
-2x)=cos2x
,是偶函数;
对于④,把x=
π
8
代入y=sin(2x+
4
)
得y=-1,x=
π
8
是对称轴方程;
对于⑤,A>B?a>b?2RsinA>2RsinB?sinA>sinB.所以③、④、⑤正确.
故答案为:③④⑤.
点评:本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性.考查三角函数公式的综合应用.三角函数的公式比较多,很容易记混,平时要注意积累.是基础题.
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