题目内容

给出下列命题:
①存在实数α使sinα•cosα=1成立;
②存在实数α使sinα+cosα=
3
2
成立;
③函数y=sin(
2
-2x)
是偶函数;
x=
π
8
是函数y=sin(2x+
4
)
的图象的一条对称轴的方程;
⑤在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB.
其中正确命题的序号是(  )
分析:①根据正弦二倍角公式sin2α=2sinαcosα对①进行判断;
②利用辅助角公式进行判断;
③函数y=sin(
2
-2x)
化为余弦,然后在进行判断;
④把x=
π
8
代入函数y=sin(2x+
4
)
进行判断;
⑤在△ABC中,可判断A,B属于(0,π),再根据A为锐角或钝角两种情况进行说明,进行判断;
解答:解:①∵sinα•cosα=
1
2
sin2α=1,∴sin2α=2,显然是不可能的,故①错误;
②∵sinα+cosα=
2
sin(α+
π
4
)
=
3
2
,∴sin(α+
π
4
)=
3
2
4
>1,故不存在α使sinα+cosα=
3
2
成立;
③∵y=sin(
2
-2x)
=cos(
π
2
-
2
+2x)=cos(2x-2π)=cos2x,∴y是偶函数,故③正确;
④把x=
π
8
代入得,y=sin(2x+
4
)
=sin(2×
π
8
+
4
)
=sin
2
=-1,∴x=
π
8
为y的一条对称轴;故④正确;
⑤若A>B,当A不超过90°时,显然可得出sinA>sinB,
当A是钝角时,
由于
π
2
>π-A>B,可得sin(π-A)=sinA>sinB,
即 A>B⇒sinA>sinB
故选B.
点评:此题主要考查命题的真假的判断及应用,考查的知识点比较多,综合性比较强,是一道中档题;
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