题目内容

已知函数f(x)=
1
3
x3+
1-a
2
x2-ax-a,其中a>0.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(III)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3](t∈[-3,-1]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3,1]上的最小值.
分析:(Ⅰ)由导数与函数单调性的关系解不等式即可;
(Ⅱ)函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,即其图象在(-2,0)内与x轴有两个交点,结合图象可得出f(-2)、f(0)及极值符号,从而可求出a的范围;
(Ⅲ)先求出M(t),m(t),再求出g(t),从而可求得g(t)在[-3,-1]上最小值,其间需要根据极点-1,1所在区间情况分类讨论.
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),又a>0,
∴当x<-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当-1<x<a时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>a时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)的单调增区间为:(-∞,-1),(a,+∞);单调减区间为:(-1,a).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,
从而函数f(x)在(-2,0)内恰有两个零点当且仅当
f(-2)<0
f(-1)>0
f(0)<0
,解得0<a<
1
3

所以a的取值范围是(0,
1
3
).
(Ⅲ)a=1时,f(x)=
1
3
x3-x-1
.由(Ⅰ)知f(x)在[-3,-1]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.
(1)当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在[t,-1]上单调递增,在[-1,t+3]上单调递减,
因此,f(x)在[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-
1
3
,而最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),故m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).
而f(t)在[-3,-2]上单调递增,因此f(t)≤f(-2)=-
5
3
.所以g(t)在[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-
1
3
-(-
5
3
)
=
4
3

(2)当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].下面比较f(-1),f(1),f(t),f(t+3)的大小.
由f(x)在[-2,-1],[1,2]上单调递增,有f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f(2).
又由f(1)=f(-2)=-
5
3
,f(-1)=f(2)=-
1
3
,从而M(t)=f(-1)=-
1
3
,m(t)=f(1)=-
5
3

所以g(t)=M(t)-m(t)=
4
3

综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
4
3
点评:本题考查了应用导数研究函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题,同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想.
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