Question

函数f（x）＝|e^x－bx|，其中e为自然对数的底，
（1）当b＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；
（2）若函数y＝f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围；
（3）当b＞0时，判断函数y＝f（x）在区间（0，2）上是否存在极大值，若存在，求出极大值及相应实数b的取值范围。

Answer 1

解：（1）记g（x）＝e^x-bx，
当b＝1时，g′（x）＝e^x-1，
当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上为增函数；
又g（0）＝1＞0，
所以当x∈（0，＋∞）时，g（x）＞0，
所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝∣g（x）∣＝g（x），
所以f′（1）＝g′（1）＝e-1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，e-1）处的切线方程为：y-（e-1）＝（e-1）（x-1），
即y＝（e-1）x。  
（2）f（x）＝0同解于g（x）＝0，
因此，只需g（x）＝0有且只有一个解，即方程e^x-bx＝0有且只有一个解，
因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝，  
令h（x）＝，
由h′（x）＝＝0得x＝1，
当x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，＋∞）；
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，＋∞）；
所以当x∈（0，＋∞）时，方程b＝有且只有一解等价于b＝e；
当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0），
从而方程b＝有且只有一解等价于b∈（-∞，0）；
综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}。
（3）由g′（x）=e^x-b=0，得x=lnb，
当x∈（-∞，lnb）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（lnb，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
所以在x=lnb时，g（x）取极小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb），
①当0＜b≤e时，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0，
从而当x∈R时，g（x）≥0，
所以f（x）=∣g（x）∣=g（x）在（-∞，+∞）上无极大值；
因此，在x∈（0，2）上也无极大值；
②当b＞e时，g（lnb）＜0，
因为g（0）=1＞0，g（2lnb）=b²-2blnb=b（b-2lnb）＞0，
所以存在x₁∈（0，lnb），x₂∈（lnb，2lnb），使得g（x₁）=g（x₂）=0，
此时f（x）=∣g（x）∣=，
所以f（x）在（-∞，x₁）单调递减，在（x₁，lnb）上单调递增，在（lnb，x₂）单调递减，
在（x₂，+∞）上单调递增，
所以在x=lnb时，f（x）有极大值，
因为x∈（0，2），
所以，当lnb＜2，即e＜b＜e²时，f（x）在（0，2）上有极大值；
当lnb≥2，即b≥e²时，f（x）在（0，2）上不存在极大值；
综上所述，在区间（0，2）上，当0＜b≤e或b≥e²时，函数y=f（x）不存在极大值；
当e＜b＜e²时，函数y=f（x）在x=lnb时取极大值f（lnb）=b（lnb-1）。