Question

抛物线的顶点在原点，焦点在射线x-y+1=0（x≥0）上
（1）求抛物线的标准方程
（2）过（1）中抛物线的焦点F作动弦AB，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出的值．

Answer 1

解：（1）∵是标准方程，∴其焦点应该在坐标轴上，
∴令x=0，代入射线x-y+1=0，解得其焦点坐标为（0，1）
当焦点为（0，1）时，可知P=2，∴其方程为x²=4y．
（2）设，
过抛物线A，B两点的切线方程分别是，
其交点坐标
设AB的直线方程y=kx+1代入x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴
∵
∴
而
∴．
分析：（1）先射线x-y+1=0（x≥0）与坐标轴的交点解得焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的标准方程．
（2）设AB的直线方程y=kx+1，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量数量积的坐标运算公式即可求出的值，从而解决问题．
点评：本题主要考查平面向量数量积的运算、抛物线的标准方程．抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点，即先确定焦点的坐标再求出标准方程．