题目内容
18.若方程lg(ax)lg(ax2)=4有两个大于1的解,求a的取值范围.分析 根据对数的运算法则进行化简,利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可.
解答 解:要使对数有意义,则$\left\{\begin{array}{l}{ax>0}\\{a{x}^{2}>0}\end{array}\right.$,
则a>0,且x≠0,
由lg(ax)lg(ax2)=4得(lga+lgx)(lga+lgx2)=4,
即(lga+lgx)(lga+2lgx)=4,
即lg2a+2lgxlga+lgxlga+2lg2x=4,
即2lg2x+3lgalgx+lg2a-4=0,
∵方程lg(ax)lg(ax2)=4有两个大于1的解,
∴设t=lgx,则x>1,
∴t>0,
即方程2t2+3lgat+lg2a-4=0有两个正根,
设f(t)=2t2+3lgat+lg2a-4,
则满足$\left\{\begin{array}{l}{△=9l{g}^{2}a-4(l{g}^{2}a-4)≥0}\\{f(0)=l{g}^{2}a-4>0}\\{-\frac{3lga}{2×2}>0}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{5l{g}^{2}a+16≥0}\\{lga>2或lga<-2}\\{lga<0}\end{array}\right.$,
即lga<-2,
解得0<a<$\frac{1}{100}$.
点评 本题主要考查对数的运算性质,结合换元法利用一元二次函数根与系数之间的关系是解决本题的关键.
练习册系列答案
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10.若sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,则cos(2θ+$\frac{π}{2}$)=( )
A. | $\frac{7}{9}$ | B. | -$\frac{7}{9}$ | C. | -$\frac{4\sqrt{2}}{9}$ | D. | $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ |