Question

求证：对任意x、y∈R，都有

7x+1

72x+49

≤5-3y+

1

2

y²，并说明等号何时成立．

Answer 1

分析：首先分析题目要求证明不等式

7x+1

72x+49

≤  5-3y+

1

2

y2，可对不等式两边分别做讨论，左边利用基本不等式可得

7x+1

72x+49

≤

1

2

，右边根据配方法得出5-3y+

1

2

y2≥

1

2

，综合起来即得结果，当不等式两边都等于

1

2

的时候等号成立，解得x y的值即可．

解答：证明：首先利用基本不等式可得；7^2x+49≥2•7^x•7=2•7^x+1，
所以

7x+1

72x+49

≤

7x+1

2•7x+1

=

1

2

．
又因为5-3y+

1

2

y²=

1

2

（y-3）²+

1

2

≥

1

2

，
所以

7x+1

72x+49

≤5-3y+

1

2

y²．即得证．
当且仅当x=1，y=3时取等号．

点评：此题主要考查基本不等式的应用和由配方法求最值的问题，这2个知识点都属于重点考点且应用广泛，同学们需要多加注意．