题目内容

有一海湾，海岸线为近似半个椭圆（如图），椭圆长轴端点为A，B，AB间距离为3km，椭圆焦点为C，D，CD间距离为2km，在C，D处分别有甲，乙两个油井，现准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为k1），与距离的平方成反比（比例系数都为k2），又知甲油井排出的废气浓度是乙的8倍．
（1）设乙油井排出的浓度为a（a为常数）度假村P距离甲油井xkm，度假村P受到甲乙两油井的污染程度和记为f（x），求f（x）的表达式并求定义域；
（2）度假村P距离甲油井多少时，甲乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？
分析：（1）由点P在椭圆上，知|PC|+|PD|=3，设|PC|=x，则|PD|=3-x，由此可得P点受甲油井污染程度、受乙油井污染程度，即可求得污染程度和；
（2）令f(x)=
8ak1k2
x2
+
ak1k2
(3-x)2
=ak1k2（
8
x2
+
1
9-6x+x2
），求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的最小值．
解答：解：（1）由点P在椭圆上，知|PC|+|PD|=3，设|PC|=x，则|PD|=3-x．
P点受甲油井污染程度为
8ak1k2
x2
，P点受乙油井污染程度为
ak1k2
(3-x)2
污染程度和为f(x)=
8ak1k2
x2
+
ak1k2
(3-x)2
，定义域为[
1
2
，
5
2
]
（2）令f(x)=
8ak1k2
x2
+
ak1k2
(3-x)2
=ak1k2（
8
x2
+
1
9-6x+x2
），
求导函数，可得f′（x）=18ak1k2×
(x-2)(x2-6x+12)
x3(3-x)3

令f′（x）=0，解得x=2．
当x∈(
1
2
，2)时，f′（x）＜0，函数为减函数；当x(2，
5
2
)时，f′（x）＞0，函数为增函数； 
当x=2时，f（x）取得最小值．
答，度假村距离甲油井2km时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小．
点评：本题考查导数的应用，考查函数思想，考查阅读能力、建模能力、运算能力．属于中档题．
练习册系列答案
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18、某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：

（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（ⅰ）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（ⅱ）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
如图，在水平地面上有一正三角形木块记为△ABC边长为1，点P为BC的中点，现对△ABC作如下水平方向的运动：
（1）以B为起点记为原点0和旋转点开始向右进行旋转；
（2）当三角形一条边与地面重合时，再以三角形右侧的顶点为旋转点继续向右旋转．则当运动开始后点A第1次落到地面上时，
OC
•
OP
=
5
4
5
4
．
某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
X 1 2 3 4 5
f a 0.2 0.45 b c
（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求选取的两件日用品中恰有一件等级系数为4的概率．
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