题目内容
如图,在三棱锥
中,
,
,
是
的中点,且
,
.
(I)求证:平面平面
;
(II)试确定角的值,使得直线
与平面
所成的角为
.
解析:本例可利用综合法证明求解,也可用向量法求解.
答案:解法1:(Ⅰ),
是等腰三角形,又
是
的中点,
,又
底面
.
.于是
平面
.
又平面
,
平面
平面
.
(Ⅱ) 过点在平面
内作
于
,则由(Ⅰ)知
平面
.
连接,于是
就是直线
与平面
所成的角.
依题意,所以
在中,
;
在中,
,
.
,
.
故当时,直线
与平面
所成的角为
.
解法2:(Ⅰ)以所在的直线分别为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
于是,,
,
.
从而,即
.
同理
,
即.又
,
平面
.
又平面
.
平面
平面
.
(Ⅱ)设平面的一个法向量为
,
则由.
得
可取,又
,
于是,
即,
.
故交时,直线
与平面
所成的角为
.
解法3:(Ⅰ)以点为原点,以
所在的直线分别为
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
于是,
,
.
从而,即
.
同理,即
.
又,
平面
.
又平面
,
平面
平面
.
(Ⅱ)设平面的一个法向量为
,
则由
,得
可取,又
,
于是,
即. 故角
时,
即直线与平面
所成角为
.
点评:证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解

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