题目内容
如图,在三棱锥中,,,是的中点,且,.
(I)求证:平面平面;
(II)试确定角的值,使得直线与平面所成的角为.
解析:本例可利用综合法证明求解,也可用向量法求解.
答案:解法1:(Ⅰ),是等腰三角形,又是的中点,
,又底面..于是平面.
又平面,平面平面.
(Ⅱ) 过点在平面内作于,则由(Ⅰ)知平面.
连接,于是就是直线与平面所成的角.
依题意,所以
在中,;
在中,,
.
,.
故当时,直线与平面所成的角为.
解法2:(Ⅰ)以所在的直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
于是,,,.
从而,即.
同理,
即.又,平面.
又平面.
平面平面.
(Ⅱ)设平面的一个法向量为,
则由.
得
可取,又,
于是,
即,.
故交时,直线与平面所成的角为.
解法3:(Ⅰ)以点为原点,以所在的直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
于是,,.
从而,即.
同理,即.
又, 平面.
又平面, 平面平面.
(Ⅱ)设平面的一个法向量为,
则由,得
可取,又,
于是,
即. 故角时,
即直线与平面所成角为.
点评:证明两平面垂直一般用面面垂直的判定定理,求线面角一是找线在平面上的射影在直角三角形中求解,但运用更多的是建空间直角坐标系,利用向量法求解
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