Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线x-y+1=0上．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）设

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=T_n，求证T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由点P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线x-y+1=0上，知a_n-a_n+1+1=0，所以a_n是以公差d=1的等差数列．
（2）证明：Sn=

n(1+n)

2

•

1

Sn

=

2

n(1+n)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

) ＜2．

解答：（1）证明：∵点P（a_n，a_n+1）（n∈N⁺）在直线x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，即a_n+1-a_n=1，
∴a_n是以公差d=1的等差数列．
（2）证明：∵等差数列{a_n}中，a₁=1，d=1，
∴Sn=

n(n+1)

2

，

1

Sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴Tn=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=2(1-

1

n+1

) ＜2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法和裂项求和法的灵活运用，解题时要认真思考，仔细解答．