题目内容

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 $数学公式$ ，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|= $数学公式$ 时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

解：（1）设椭圆方程为 $\text{[math]}$
因为 $\text{[math]}$ 所以a=2b
又椭圆过点M（4，1），所以 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
故椭圆方程为 $\text{[math]}$
（2）将y=x+m代入 $\text{[math]}$
5x²+8mx+4m²-20=0
|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，得到m=±4
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
因此MA，MB与x轴所围成的三角形为等腰三角形
分析：（1）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ 由 $\text{[math]}$ 可得a，b之间的关系，再由椭圆过点M（4，1），代入椭圆方程可得a，b得另一个关系式，联立可求
（2）将y=x+m代入 $\text{[math]}$ ，整理可得5x²+8mx+4m²-20=0，由|AB|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可求m
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，要证明直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．只要证明k₁+k₂=0即可
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，在处理直线与椭相交的位置关系的处理中，联立方程是最常用的处理方法，根与系数的关系的应用是处理此类问题的关键所在，

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如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA₁|：|A₁F₁|=2：1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l₁：x=m（|m|＞1），P为l₁上的动点，使∠F₁PF₂最大的点P记为Q，求点Q的坐标（用m表示）．

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

，且经过点M（4，1）．直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当|AB|=

时，求m的值；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，

），且离心率为

．
（ I）求椭圆的标准方程；
（ II）过点M（0，2）的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，点N在线段PQ上．设

=λ，试求实数λ的取值范围．

（2012•马鞍山二模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当MA⊥MB时，求m的值．