Question

20．已知偶函数f（x）对?x∈R，都有f（x-2）=-f（x），且当x∈[-1，0]时，f（x）=2^x，则f（2013）=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 首先根据题意，求出f（x）是周期等于4的周期函数；然后把求f（2013）的值转化成求f（-1）的值，代入函数的解析式，求解即可．

解答 解：函数f（x）对于任意的x∈R都有f（x-2）=-f（x），
所以f（x+2-2）=-f（x+2）=-f（x+4-2）=f（x+4），
即f（x）=f（x+4），
故f（x）是周期等于4的周期函数，
又由偶函数f（x），当x∈[-1，0]时，f（x）=2^x，
可得f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（-1）=2^-1=$\frac{1}{2}$，
即f（2013）=$\frac{1}{2}$．
故选：C

点评 本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是首先求出f（x）是周期等于4的周期函数．