Question

已知函数y=

2-x 2+x

+lg(-x2+4x-3)的定义域为M．
（1）求M；
（2）当x∈M时，求函数f（x）=a•2^x+2+3•4^x（a＜-3）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用被开方数非负，真数大于0，建立不等式组，即可求得函数的定义域；
（2）换元，利用配方法，结合函数的定义域，分类讨论，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意，

2-x 2+x ≥0 -x2+4x-3＞0

，解得1≤x≤2，∴M=（1，2]；
（2）令t=2^x（t∈（2，4]），f（x）=g（t）=-4at+3t²=3（t+

2a

3

）²-

4a2

3

1°-6＜a＜-3，即2＜-

2a

3

＜4时，g（t）_min=g（-

2a

3

）=-

4a2

3

；
2°a≤-6，即-

2a

3

≥4时，g（t）_min=g（4）=48+16a
∴f（x）_min=

48+16a，a≤-6 - 4a2 3 ，-6＜a＜-3

．

点评：本题考查函数的定义域，考查函数的最值，考查配方法的运用，属于中档题．