题目内容
已知函数y=2-x2+2x+8
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的值域;
(3)求函数的单调区间.
(1)求函数的定义域;
(2)求函数的值域;
(3)求函数的单调区间.
分析:(1)函数的定义域为R;
(2)利用配方法确定指数的范围,结合指数函数的单调性,即可求得函数的值域;
(3)由(2)知,t=-x2+2x+8在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,结合指数函数的单调性,即可求得结论.
(2)利用配方法确定指数的范围,结合指数函数的单调性,即可求得函数的值域;
(3)由(2)知,t=-x2+2x+8在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,结合指数函数的单调性,即可求得结论.
解答:解:(1)函数的定义域为R;
(2)∵-x2+2x+8=-(x-1)2+9≤9,∴2-x2+2x+8≤29,∴函数的值域为(0,512];
(3)由(2)知,t=-x2+2x+8在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减
∵指数函数y=2t为增函数
∴函数的单调递增区间为(-∞,1);单调递减区间为(1,+∞).
(2)∵-x2+2x+8=-(x-1)2+9≤9,∴2-x2+2x+8≤29,∴函数的值域为(0,512];
(3)由(2)知,t=-x2+2x+8在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减
∵指数函数y=2t为增函数
∴函数的单调递增区间为(-∞,1);单调递减区间为(1,+∞).
点评:本题考查复合函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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