题目内容
若方程x2+(
sin2θ)x+2cosθ=0(其中0<θ<π)的两实根为α、β,数列1,
+
,(
+
)2,…的所有项的和为2-
,试求θ的值.
2 |
1 |
α |
1 |
β |
1 |
α |
1 |
β |
2 |
分析:由方程x2+(
sin2θ)x+2cosθ=0(其中0<θ<π)的两实根为α、β,知△=(
sin2θ)2-4×2cosθ≥0,α+β=-
sin2θ,αβ=2cosθ,故
+
=-
sinθ,由此能求出θ的值.
2 |
2 |
2 |
1 |
α |
1 |
β |
2 |
解答:解:∵方程x2+(
sin2θ)x+2cosθ=0(其中0<θ<π)的两实根为α、β,
∴△=(
sin2θ)2-4×2cosθ≥0(1)
α+β=-
sin2θ,αβ=2cosθ(4分)
+
=
=
=
=-
sinθ,
由已知|
+
|<1∴|1-
sinθ|<1即|sinθ|<
而θ∈(0,π)∴0<sinθ<
…(2)(8分)
=2-
∴
=2-
∴sinθ=
满足(2)
∴θ=
或
π,且θ=
不满足(1)
故θ=
π(12分)
2 |
∴△=(
2 |
α+β=-
2 |
1 |
α |
1 |
β |
α+β |
αβ |
-
| ||
2cosθ |
-
| ||
2cosθ |
2 |
由已知|
1 |
α |
1 |
β |
2 |
| ||
2 |
而θ∈(0,π)∴0<sinθ<
| ||
2 |
1 | ||||
1-(
|
2 |
1 | ||
1+
|
2 |
∴sinθ=
1 |
2 |
∴θ=
π |
6 |
5 |
6 |
π |
6 |
故θ=
5 |
6 |
点评:本题考查根与系数的关系,具体涉及到三角函数的恒等变换和基本性质,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
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