Question

已知⊙M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA、QB分别切⊙M于A、B两点．
（1）如果|AB|=

4 2

3

，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据P是AB的中点，可求得|MP|，进而利用射影定理可知|MB|²=|MP|•|MQ|求得|MQ|，进而利用勾股定理在Rt△MOQ中，求得|OQ|则Q点的坐标可得，进而可求得MQ的直线方程．
（2）连接MB，MQ，设P（x，y），Q（a，0），点M、P、Q在一条直线上，利用斜率相等建立等式，进而利用射影定理|MB|²=|MP|•|MQ|，联立消去a，求得x和y的关系式，根据图形可知y＜2，排除x2+(y-

9

4

)2=

1

16

．进而可求得动弦AB的中点P的轨迹方程．

解答：解：（1）由P是AB的中点，|AB|=

4 2

3

，
可得|MP|=

|MA|2-( |AB| 2 )2

=

1-( 2 2 3 )2

=

1

3

．
由射影定理，得|MB|²=|MP|•|MQ|，得|MQ|=3．
在Rt△MOQ中，|OQ|=

|MQ|2-|MO|2

=

32-22

=

5

．
故Q点的坐标为（

5

，0）或（-

5

，0）．
所以直线MQ的方程是2x+

5

y-2

5

=0或2x-

5

y+2

5

=0．
（2）连接MB，MQ，设P（x，y），Q（a，0），点M、P、Q在一条直线上，
得

2

-a

=

y-2

x

．①
由射影定理，有|MB|²=|MP|•|MQ|，
即

x2+(y-2)2

•

a2+4

=1．②
由①及②消去a，可得x2+(y-

7

4

)2=

1

16

和x2+(y-

9

4

)2=

1

16

．
又由图形可知y＜2，
因此x2+(y-

9

4

)2=

1

16

舍去．
因此所求的轨迹方程为x2+(y-

7

4

)2=

1

16

（y＜2）．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，求轨迹方程问题．解题过程中灵活利用了射影定理．