题目内容

轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：米．
（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

解：（I）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a₀x²+b₀x+c₀，
由题意知 $\text{[math]}$
解得a₀=1，b₀=-4，c₀=4，
∴助跑道所在的抛物线方程为y=x²-4x+4．
（II）设飞行轨迹所在抛物线方程为g（x）=ax²+bx+c，（a＜0）
由题意知 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴g（x）=ax²+（2-6a）x+9a-5=a（x- $\text{[math]}$ ）²+1- $\text{[math]}$ ，
令g（x）=1，得（x- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，
∵a＜0，∴x= $\text{[math]}$ ，
当x= $\text{[math]}$ 时，g（x）有最大值1- $\text{[math]}$ ，
则运动员飞行距离d=3- $\text{[math]}$ -3=- $\text{[math]}$ ，飞行过程中距离平台最大高度h=1- $\text{[math]}$ -1=- $\text{[math]}$ ，
依题意4≤- $\text{[math]}$ ≤6，得2≤- $\text{[math]}$ ≤3．
飞行过程中距离平台最大高度的取值范围在2米到3米之间．
分析：（1）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a₀x²+b₀x+c₀，由题意，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），得出方程组，由此能求出结果．
（2）设飞行轨迹所在抛物线方程为g（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意知 $\text{[math]}$ ，由此入手能求出g（x）有最大值，用飞行过程中距离平台最大高度，利用不等关系即可得出运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．
点评：本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．