题目内容
一变压器的铁芯截面为正十字型(两个全等的长方形,它们完全重合,把其中一个长方形绕中点旋转90°后而得的组合图叫正十字型),为保证所需的磁通量,要求十字应具有cm2的面积,问应如何设计十字型宽x及y,才能使其外接圆的周长最短,这样可使绕在铁芯上的铜线最节省.
解:设外接圆的半径为R cm,则 R=.
由2xy﹣x2=,得 y=.
要使外接圆的周长最小,需要R取最小值,也即R2取最小值.
设 f(x)=R2=++(0<x<2R),则 f'(x)=x﹣.
令f'(x)=0 解得x=2 或x=﹣2(舍去).
当0<x<2 时f'(x)<0;当x>2 时,f'(x)>0.
因此当x=2时,y=,R2最小,即R最小,周长最小为π cm.
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