题目内容

某科研小组对热能与电能的转化和燃煤每分钟的添加量之间的关系进行科学研究，在对某发电厂A号机组的跟踪调研中发现：若该机组每分钟燃煤的添加量设计标准为a吨，在正常状态下，通过自动传输带给该机组每分钟添加燃煤x吨，理论上可以共生产电能x³-x+10千瓦，而由于实际添加量x与设计标准a存在误差，实际上会导致电能损耗2|x-a|千瓦，最后实际产生的电能为f（x）千瓦．
（1）试写出f（x）关于x的函数表达式；当0＜a＜1时，求f（x）的极大值．
（2）该科研小组决定调整设计标准a，控制添加量x，实现对最终生产的电能f（x）的有效控制的科学实验，若某次实验中 $数学公式$ （单位：吨），用电高峰期间，要求该厂的输出电能为每分钟不得低于9千瓦，否则供电不正常．试问这次实验能否实现这个目标？请说明理由．

解：（1）由题设知f（x）=x³-x+10-2|x-a|，x＞0
∴f（x）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
当a＞1时，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函数；
x∈[a，+∞），f（x）=3x³-3＞0，f（x）是增函数．
当0＜a＜1时，x∈（0，a），f′（x）=3x²+1＞0，f（x）是增函数；
x∈（a，1），f′（x）=3x²-3＜0，f（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）=3x²-3＞0，f（x）是增函数．
∴x=a时，f（x）有极大值f（a）=a³+a+10-2a=a³-a+10．
（2）∵a∈[ $\text{[math]}$ ，1]，x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴由（1）知f（x）在（ $\text{[math]}$ ，a]上是增函数，在（a，1）上是减函数，在（1， $\text{[math]}$ ）上是增函数，
∴f（x）_min=min{f（ $\text{[math]}$ ），f（1）}，
∵f（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ）³+ $\text{[math]}$ +10-2a= $\text{[math]}$ ，
f（1）=8+2a，f（2）-f（ $\text{[math]}$ ）=4a- $\text{[math]}$ ．
∴当 $\text{[math]}$ 时，f（1）≥f（ $\text{[math]}$ ），
当 $\text{[math]}$ 时，f（1）＜f（ $\text{[math]}$ ），
故当a∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，f（x）_min=f（1）=2a+8≥9，可以实现目标．
当a∈[ $\text{[math]}$ ，1]时，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ -2a∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
从而a∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）≥9，a∈[ $\text{[math]}$ ，1]时，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）＜9，
综上所述，a∈[ $\text{[math]}$ ]时，能实现目标；a∈[ $\text{[math]}$ ，1]时，不能实现目标．
分析：（1）由题设知f（x）= $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ ，由此能求出0＜a＜1时f（x）的极大值．
（2）由a∈[ $\text{[math]}$ ，1]，x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，知f（x）在（ $\text{[math]}$ ，a]上是增函数，在（a，1）上是减函数，在（1， $\text{[math]}$ ）上是增函数，从而得到f（x）_min=min{f（ $\text{[math]}$ ），f（1）}，由此能求出结果．
点评：本题考查函数在生产生活中的合理运用，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．