Question

已知函数f(x)=-x²+8x,g(x)=6lnx+m.

(1)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t);

(2)是否存在实数m，使得y=f(x)图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

解:(1)f(x)=-x²+8x=-(x-4)²+16.

当t+1＜4,即t＜3时，f(x)在［t,t+1］上单调递增，

h(t)=f(t+1)=-(t+1)²+8(t+1)=-t²+6t+7;

当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16;

当t＞4时，f(x)在［t,t+1］上单调递减，

h(t)=f(t)=-t²+8t.

综上，h(t)=

(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数

（x）=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.

∵(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴′(x)=2x-8+==(x＞0),

当x∈(0,1)时，′(x)＞0,(x)是增函数；

当x∈(0,3)时，′(x)＜0,(x)是减函数；

当x∈(3,+∞)时，′(x)＞0,(x)是增函数；

当x=1,或x=3时，′(x)=0.

∴(x)_最大值=(1)=m-7,(x)_最小值=(3)=m+6ln3-15.

∵当x充分接近0时，(x)＜0,当x充分大时，(x)＞0.

∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需

即7＜m＜15-6ln3.

所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-6ln3）.