Question

动点M（x，y）到定点F（-1，0）的距离与到y轴的距离之差为1．
（I）求动点M的轨迹C的方程；
（II）过点Q（-3，0）的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用动点M（x，y）到定点F（-1，0）的距离与到y轴的距离之差为1，建立方程，化简方程可得M点的轨迹方程；
（II）设l的方程为x=my-3，代入y²=-4x，消元可得y²+4my-12=0，利用韦达定理，可得|AB|，结合△PAB是等边三角形得：PM⊥AB且|PM|=

3

2

|AB|，由此可得结论．

解答：解：（I）依题意有：

(x+1)2+y2

=|x|+1…（2分）
当x≥0时，y=0；当x＜0时，y²=-4x…（5分）
∴M点的轨迹方程为y2=

0，x≥0 -4x，x＜0

…（6分）
（II）由题意，l只能与抛物线y²=-4x相交．
设l的方程为x=my-3，代入y²=-4x，消元可得y²+4my-12=0…（7分）
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）则y1+y2=-4m，y1y2=-12，△=16m2+48
∴|AB|=

1+m2

16m2+48

…（8分）
AB的中点M（-2m²-3，-2m）
由△PAB是等边三角形得：PM⊥AB且|PM|=

3

2

|AB|…（9分）
令点P（3，n）则|PM|=

|6-mn|

1+m2

…（10分）
∴

|6-mn| 1+m2 = 3 2 1+m2 16m2+48 n+2m 6+2m2 =-m

，解得

m=0 n=0

所以存在点P（3，0）使得△PAB是等边三角形．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．