Question

焦点分别为（0，5）和（0，-5）的椭圆截直线y=3x-2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程．

Answer 1

解：由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），
∵c=5
∴a²-b²=50①
把直线方程y=3x-2代入椭圆方程整理得（a²+9b²）x²-12b²x+b²（4-a²）=0．
设弦的两个端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由根与系数的关系可得，

由中点坐标公式可得，
∴a²=3b²②
联立①②可得，a²=75，b²=25
∴椭圆方程为
分析：根据焦点坐标得出a²-b²=50，将直线的方程与椭圆的方程组成方程组，消去y得到关于x的方程，再根据根与系数的关系求得AB的中点的横坐标的表达式，最后根据联立的方程求出其a，b即可求椭圆的方程．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．注意本题还金额以考虑利用点差法进行求解