Question

α-l-β是直二面角，直线a与α所成角为30°，则a与β所成角（ ）
A．60°
B．小于60°
C．取值范围为[0°，90°]
D．取值范围为[0°，60°]

Answer 1

【答案】分析：设线段AB夹在直二面角α-l-β内，A∈α，B∈β，如果AB与平面α、β所成的角分别为α和β，过A在α内做AC垂直于l于C点，过B在β内做BD垂直于l于D点． 在β内做BE平行l，在β内做CE平行BD，交点为E，连接AE，AD，BC，根据AD＞AC判断∠ABC＜∠ABD，由于∠ABD+∠DAB=90°进而知α+β＜90°，当AB与l垂直时α+β=90° 当AB与l平行时α+β=0，最后综合答案可得α+β的范围为0≤α+β≤90°；再结合直线a与α所成角为30°即可得到答案．
解答：解：设线段AB夹在直二面角α-l-β内，A∈α，B∈β，

如果AB与平面α、β所成的角分别为α和β，
过A在α内做AC垂直于l于C点，过B在β内做BD垂直于l于D点．
在β内做BE平行l，在β内做CE平行BD，交点为E，连接AE，AD，BC
则∠DAB=α，∠ABC=β，sin∠ABC=ACAB，sin∠DAB=ADAB
因为AD＞AC，所以∠ABC＜∠ABD，
∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
当AB与l垂直时α+β=90°
当AB与l平行时α+β=0
∴0≤α+β≤90°；
又因为直线a与α所成角为30°；
所以：a与β所成角的范围是：[0，，60°]
故选：D．
点评：本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系．解题的关键是判断出当直线与两面角的棱平行或垂直时的情况．