题目内容
已知函数f(x)=(
)2,(x>1).
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)若不等式(1-
)f-1(x)>a(a-
)对一切x∈[
,
]恒成立,求实数a的取值范围.
x-1 |
x+1 |
(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)若不等式(1-
x |
x |
1 |
16 |
1 |
4 |
分析:(1)欲求原函数f(x)的反函数,即从原函数式中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式,再根据原函数的值域为反函数的定义域;
(2)将解析式代入化简,令t=
,t∈[
,
],转化成关于t的一次不等式在[
,
]上恒成立,建立不等式组,解之即可.
(2)将解析式代入化简,令t=
x |
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
2 |
解答:解:(1)由f(x)=(
)2得x=
,x>1,x=
>1,
∴0<y<1
∴f-1(x)=
(0<x<1)
(2)由题设有f-1(x)=
(0<x<1).
∴1+
>a2-a
,即(1+a)
+1-a2>0对任意的x∈[
,
]恒成立,显然a≠-1,
令t=
,t∈[
,
]则g(t)=(1+a)t+1-a2>0对任意t∈[
,
]恒成立.
∴
即
,解得-1<a<
.
x-1 |
x+1 |
1+
| ||
1-
|
1+
| ||
1-
|
∴0<y<1
∴f-1(x)=
1+
| ||
1-
|
(2)由题设有f-1(x)=
1+
| ||
1-
|
∴1+
x |
x |
x |
1 |
16 |
1 |
4 |
令t=
x |
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
2 |
∴
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5 |
4 |
点评:本题主要考查了反函数,以及函数恒成立问题,同时考查了计算能力和转化的思想,属于基础题.
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
是定义域上的递减函数,则实数a的取值范围是( )
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A、(
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B、(
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C、(
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D、[
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