题目内容

已知函数f(x)=(
x-1
x+1
)2,(x>1)

(1)求f(x)的反函数f-1(x);
(2)若不等式(1-
x
)f-1(x)>a(a-
x
)
对一切x∈[
1
16
1
4
]
恒成立,求实数a的取值范围.
分析:(1)欲求原函数f(x)的反函数,即从原函数式中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式,再根据原函数的值域为反函数的定义域;
(2)将解析式代入化简,令t=
x
,t∈[
1
4
1
2
]
,转化成关于t的一次不等式在[
1
4
1
2
]
上恒成立,建立不等式组,解之即可.
解答:解:(1)由f(x)=(
x-1
x+1
)2
x=
1+
y
1-
y
,x>1,x=
1+
y
1-
y
>1

∴0<y<1
f-1(x)=
1+
x
1-
x
(0<x<1)

(2)由题设有f-1(x)=
1+
x
1-
x
(0<x<1)

1+
x
a2-a
x
,即(1+a)
x
+1-a2>0
对任意的x∈[
1
16
1
4
]
恒成立,显然a≠-1,
t=
x
,t∈[
1
4
1
2
]
则g(t)=(1+a)t+1-a2>0对任意t∈[
1
4
1
2
]
恒成立.
g(
1
4
)>0
g(
1
2
)>0
1
4
(1+a)+(1-a2)>0
1
2
(1+a)+1-a2>0
,解得-1<a<
5
4
点评:本题主要考查了反函数,以及函数恒成立问题,同时考查了计算能力和转化的思想,属于基础题.
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