Question

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为

2

2

．

Answer 1

分析：先根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率．

解答：解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点与顶点，
∴双曲线的顶点是（±

a2-b2

，0），焦点是（±a，0），
设双曲线方程为

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0），
∴双曲线的渐近线方程为y=±

n

m

x，
∵m=

a2-b2

，n²=a²-m²=b²，
∴n=b，
∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，
∴m=n，
∴a²-b²=b²，
∴c²=a²-c²，
∴a²=2c²，
∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的几何性质，考查椭圆的离心率，正确运用几何量的关系是解题的关键．