Question

已知f（x）=sin²wx+

3

2

sin2wx-

1

2

（x∈R，w＞0），若f（x）的最小正周期为2π．
（1）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[-

π

6

，

5π

6

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦公式，两角差的正弦，以及三角函数的周期化简f（x）的表达式，根据正弦函数的单调性，求f（x）的单调递增区间；
（2）x∈[-

π

6

，

5π

6

]，推出x-

π

6

的范围，求sin（x-

π

6

）的范围，然后求f（x）在区间[-

π

6

，

5π

6

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）由已知f（x）=sin²wx+

3

2

sin2wx-

1

2

=

1

2

（1-cos2wx）+

3

2

sin2wx-

1

2

=

3

2

sin2wx-

1

2

cos2wx
=sin（2wx-

π

6

）．
又由f（x）的周期为2π，则2π=

2π

2w

?2w=1?w=

1

2

，
?f（x）=sin（x-

π

6

），
2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）?2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为
[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（2）由x∈[-

π

6

，

5π

6

]?-

π

6

≤x≤

5π

6

?-

π

6

-

π

6

≤x-

π

6

≤

5π

6

-

π

6

?-

π

3

≤x-

π

6

≤

2π

3

?sin（-

π

3

）≤sin（x-

π

6

）≤sin

π

2

．∴-

3

2

≤sin（x-

π

6

）≤1．
故f（x）在区间[-

π

6

，

5π

6

]的最大值和最小值分别为1和-

3

2

．

点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数的最值，考查计算能力，是中档题．