Question

已知等差数列{a_n}公差为d（d≠0），前n项和为S_n；

.

x

n表示{a_n}的前n项的平均数，且数列{

.

x

n}的前n项和为T_n，数列{

1

Sn+1-Tn+1

}的前n项和为A_n，则

lim

n→∞

An

 

．

Answer 1

分析：表示出前n项的平均数，整理发现它是等差数列，写出数列的前n项和，写出两个前n项和的差，用列想法整理结果，得到最简形式，最后求极限．

解答：解：∵

.

x

n=

a1+a2++an

n

=

Sn

n

=

na1+ n(n-1) 2 d

n

=a1+(n-1)•

d

2

，
∴{

.

x

n}是以a₁为首项，以

d

2

为公差的等差数列，
得T_n=na1+

n(n-1)

2

•

d

2

．
∵S_n=na1+

n(n-1)

2

d，
∴Sn-Tn=

n(n-1)

4

•d，
∴

1

Sn+1-Tn+1

=

4

d

•

1

n(n+1)

=

4

d

•(

1

n

-

1

n+1

)，
∴An=

4

d

•[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)]=

4

d

•(1-

1

n+1

)，
∴

lim

n→∞

An=

lim

n→∞

4

d

(1-

1

n+1

)=

4

d

．

点评：本题考查了等差数列的概念、求和公式，数列求和方法即裂项相消法及极限求解的基础知识．把数列的每一项分成两项，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和目的，此法称为裂项相消法．