题目内容

已知函数f(x)=.

(1)求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴的交点坐标;

(2)求函数的单调区间、最值和零点;

(3)设图象与x轴相交于(x1,0)、(x2,0),不求出根,求|x1-x2|;

(4)已知f(-)=,不计算函数值,求f(-);

(5)不计算函数值,试比较f(-)与f(-)的大小;

(6)写出使函数值为负数的自变量x的集合.

思路解析:讨论二次函数的性质一般要明确其图象的开口方向、对称轴、顶点、与x轴的交点,求顶点可以用配方法,也可以直接用顶点公式(-,),求与x轴的交点可借助配方法或直接使用求根公式x=(b2-4ac≥0).画函数图象时,一般要标注对称轴、顶点、与x轴的交点.下面我们选用配方法解答本题.

解:y=-x2-3x-

=- (x2+6x+5)

=- (x2+6x+9-9+5)

=-[(x+3)2-4]

=- (x+3)2+2.

令y=0,得(x+3)2=4.

∴x1=-5,x2=-1.

(1)开口向下,对称轴为直线x=-3,顶点坐标为(-3,2),与x轴的交点为(-5,0),(-1,0).

(2)单调增区间为(-∞,-3),单调减区间为(-3,+∞),有最大值为2,无最小值,零点为-5,-1.

(3)x1、x2是方程-x2-3x-=0,即方程x2+6x+5=0的两个根,由根与系数的关系得x1+x2=-6,x1x2=5.

∴|x1-x2|=

(4)∵对称轴x=-3,∴f(-3+x)=f(-3-x).∴f(-)=f(-3+)=f(-3-)=f(-)=.

(5)f(-)=f(-3-)=f(-3+)=f(-),

∵-、-∈(-3,+∞),而f(x)在(-3,+∞)上是减函数,且->-

∴f(-)<f(-),即f(-)<f(-).

(6){x|x<-5或x>-1}.

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