题目内容
设p≠0，实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1，z2、再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2，求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长．分析：由题意两个虚数根z1，z2是共轭复数，可得椭圆的短轴长：2b=|z1+z2|=2|p|，焦距为2c=|z1-z2|，然后求出长轴长．
解答：解：因为p，q为实数，p≠0，z1，z2为虚数，
所以（-2p）2-4q＜0，q＞p2＞0
由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，
可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，
焦距离=2c=|z1-z2|=
=2
，
长轴长=2a=2
=2
.
所以（-2p）2-4q＜0，q＞p2＞0
由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，
所以椭圆短轴在x轴上，又由椭圆经过原点，
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加，减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，
可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，
焦距离=2c=|z1-z2|=
| |(z1+z2)2-4z1z2| |
| q-p2 |
长轴长=2a=2
| b2+c2 |
| q |
点评：本题考查复数的基本概念，椭圆的基本性质，是小型综合题，考查学生分析问题解决问题的能力．
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