题目内容
设p≠0,实系数一元二次方程z2-2pz+q=0有两个虚数根z1,z2、再设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2,求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.分析:由题意两个虚数根z1,z2是共轭复数,可得椭圆的短轴长:2b=|z1+z2|=2|p|,焦距为2c=|z1-z2|,然后求出长轴长.
解答:解:因为p,q为实数,p≠0,z1,z2为虚数,
所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0
由z1,z2为共轭复数,知Z1,Z2关于x轴对称,
所以椭圆短轴在x轴上,又由椭圆经过原点,
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质,复数加,减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,
可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,
焦距离=2c=|z1-z2|=
=2
,
长轴长=2a=2
=2
.
所以(-2p)2-4q<0,q>p2>0
由z1,z2为共轭复数,知Z1,Z2关于x轴对称,
所以椭圆短轴在x轴上,又由椭圆经过原点,
可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质,复数加,减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,
可得椭圆的短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|,
焦距离=2c=|z1-z2|=
|(z1+z2)2-4z1z2| |
q-p2 |
长轴长=2a=2
b2+c2 |
q |
点评:本题考查复数的基本概念,椭圆的基本性质,是小型综合题,考查学生分析问题解决问题的能力.
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