题目内容

已知函数f(x)=
12
x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b.其中a,b∈R.
(1)设两曲线y=f(x)与y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a>0,试建立b关于a的函数关系式;
(2)在(1)的条件下求b的最大值;
(3)若b=0时,函数h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围.
分析:(1)设公共点(x0,y0),根据题意得到,f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),解出b关于a的函数关系式;
(2)令b'(a)=0,得a=e
1
3
,经过判断当a=e
1
3
时,b(a)为极大值,即b的最大值;
(3)根据已知h(x)为单调函数,则h′(x)≥0或h′(x)≤0,解出a的取值范围即可.
解答:解:(1)设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同.
f′(x)=x+2a,g′(x)=
3a2
x

由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0
1
2
x
2
0
+2ax0=3a2lnx0+b
x0+2a=
3a2
x0

解得x0=a或x0=-3a(舍去),
b=
5a2
2
-3a2lna(a>0)
(2)b'(a)=5a-6alna-3a=2a(1-3lna).
令b'(a)=0,则a=e
1
3
,当a变化时,b'(a)及b(a)的变化情况如下表:精英家教网
所以,a=e
1
3
时,b(a)有最大值
3
2
e
2
3

(3)h(x)=
1
2
x2+3a2lnx-6x,h′(x)=x+
3a2
x
-6
要使h(x)在(0,4)上单调,
须h′(x)=x+
3a2
x
-6≤0或h′(x)=x+
3a2
x
-6≥0在(0,4)上恒成立.
h′(x)=x+
3a2
x
-6≤0在(0,4)上恒成立
?3a2≤-x2+6x在(0,4)上恒成立.
而-x2+6x>0,且-x2+6x可为足够小的正数,必有a=0
或h′(x)=x+
3a2
x
-6≥0在(0,4)上恒成立
?3a2≥(-x2+6x)max=9,得a≥
3
或a≤-
3

综上,所求a的取值范围为a≥
3
或a≤-
3
或a=0.
点评:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等函数的基础知识,是一道关于函数的综合题,应熟练掌握其求解的方法步骤.
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