题目内容

当k取什么值时，一元二次不等式 $数学公式$ 对一切实数x都成立？

解：当k=0，有- $\text{[math]}$ ＜0恒成立；
当k≠0，令y= $\text{[math]}$ ，
∵y＜0恒成立，
∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，
即k＜0，且△=k²+3k＜0，
解得-3＜k＜0；
综上所述，k的取值范围为-3＜k≤0．
分析：先分类讨论：当k=0，有- $\text{[math]}$ ＜0恒成立；当k≠0，利用二次函数的性质求解，令y= $\text{[math]}$ ，要y＜0恒成立，则开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k＜0，且△＜0，解不等式即可得到k的取值范围．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分类讨论思想的运用和利用二次函数图象解一元二次不等的方法．