Question

（2012•河南模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2．
（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥E-PAC的体积．

Answer 1

分析：（1）取AD中点F，连接EF、CF，利用三角形中位线，得出EF∥PA，从而EF∥平面PAB．在平面四边形ABCD中，通过内错角相等，证出CF∥AB，从而CF∥平面PAB．最后结合面面平行的判定定理，得到平面CEF∥平面PAB，所以CE∥平面PAB；
（2）由PA⊥平面ABCD且AC⊥CD，证出CD⊥平面PAC，从而平面DPC⊥平面PAC．过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC，因此EH∥CD，得EH是△PCD的中位线，从而得到EH=

1

2

CD=

3

，最后求出Rt△PAC的面积，根据锥体体积公式算出三棱锥E-PAC的体积．

解答：解：（1）取AD中点F，连接EF、CF
∴△PAD中，EF是中位线，可得EF∥PA
∵EF?平面PAB，PA⊆平面PAB，∴EF∥平面PAB
∵Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，∴AC=

AB

cos60°

=2
又∵Rt△ACD中，∠CAD=60°，
∴AD=4，结合F为AD中点，得△ACF是等边三角形
∴∠ACF=∠BAC=60°，可得CF∥AB
∵CF?平面PAB，AB⊆平面PAB，∴CF∥平面PAB
∵EF、CF是平面CEF内的相交直线，
∴平面CEF∥平面PAB
∵CE⊆面CEF，∴CE∥平面PAB
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD
又∵AC⊥CD，PA、AC是平面PAC内的相交直线
∴CD⊥平面PAC
∵CD⊆平面DPC，∴平面DPC⊥平面PAC
过E点作EH⊥PC于H，由面面垂直的性质定理，得EH⊥平面PAC
∴EH∥CD
Rt△ACD中，AC=2，AD=4，∠ACD=90°，所以CD=

AD2-AC2

=2

3

∵E是CD中点，EH∥CD，∴EH=

1

2

CD=

3

∵PA⊥AC，∴S_Rt△PAC=

1

2

×2×2=2
因此，三棱锥E-PAC的体积V=

1

3

S_△PAC×EH=

2 3

3

点评：本题给出特殊的四棱锥，求证线面平行并求三棱锥的体积，着重考查了空间直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．